재발 관계는 파이썬

내가이 재발하고 있어요 "N + 1 = (3분의 13)이 _N을 X X _{- (4/3)는 _N-1을 X". x _n의 주어진 값을 가진= 1 및 x = 1의 값을 가진 첫 번째 50 개의 값을 인쇄하는 파이썬 스크립트를 작성하려고합니다.}재발 관계는 파이썬

import math 
def printRecurrence(): 
    x = [0]*51 #initialize list of x values 
    x[0] = 1 
    x[1] = 1/3 
    for i in range(1, 51): 
     x[i+1] = (13/3)*x[i] - (4/3)*x[i-1] 
     print(x[i])

과 내가받을 출력은 다음과 같습니다 : 이것은 내 코드는 현재 모습입니다

최초의 13 개 인쇄 된 값에 대해서만 올바른

0.3333333333333333 
0.11111111111111094 
0.03703703703703626 
0.
0.004115226337435884 
0.0013717421124321456 
0.00045724737062478524 
0.00015241578946454185 
5.0805260179967644e-05 
1.6935074827137338e-05 
5.644977344304949e-06 
1.8814687224716613e-06 
6.263946716372672e-07 
2.0575194713260943e-07 
5.63988753916179e-08 
-2.994080281313502e-08 
-2.049419793790756e-07 
-8.481608402251475e-07 
-3.402107668470205e-06 
-1.361158544307069e-05 
-5.444739336201271e-05 
-0.00021778992397796082 
-0.0008711598127551465 
-0.0034846392899683535 
-0.013938557172856001 
-0.05575422869575153 
-0.22301691478444863 
-0.8920676591382753 
-3.5682706365532617 
-14.2730825462131 
-57.092330184852415 
-228.36932073940963 
-913.4772829576384 
-3653.909131830553 
-14615.63652732221 
-58462.546109288836 
-233850.18443715532 
-935400.7377486213 
-3741602.950994485 
-14966411.80397794 
-59865647.21591176 
-239462588.86364704 
-957850355.4545882 
-3831401421.8183527 
-15325605687.27341 
-61302422749.09364 
-245209690996.37457 
-980838763985.4983 
-3923355055941.993

. 내가 제공 한 증거는 x _n = 3 ^-n이며, 대부분 내 스크립트의 값과 일치하지 않습니다. 계산에 문제가 있습니까? 나는 그것을 볼 수 없었다.

출처

2017-01-19 donut juice

부동 소수점 누적 오류 ... –

어떤 버전의 Python입니까? Python2.x에서 1/3은 0이고 13/3과 4/3은 각각 4와 1입니다. – Max

@Max는 파이썬 3이어야합니다. else가 없으므로 결과는 부동 소수점이 될 수 없습니다. –

이 반복 관계는 fractions 모듈을 사용하거나 decimal 모듈을 사용하여 다양한 수준의 정밀도를 통해 정확하게 답할 수 있습니다.이 계산법은 정확히 50 회 반복 계산에 필요한 매우 높은 수준의 정확도를 보여줍니다.

Jean-François '부동 소수점 누적 오류에 대한 요지가 정확합니다. 그러나 fraction 모듈은 여러 개의 Fraction 개체를 함께 곱할 수있는 것처럼 보이지 않으므로 모든 숫자 값을 분수 개체에 명시해야합니다. 이 문제에 대한 올바른 모듈 사용에 대한 신뢰.

정확한 답

import math 
import fractions 

def printRecurrence(): 
    x = [0]*51 #initialize list of x values 
    x[0] = fractions.Fraction(1,1) 
    x[1] = fractions.Fraction(1,3) 
    for i in range(1, 50): 
     x[i+1] = fractions.Fraction(13*x[i]/3) - fractions.Fraction(4*x[i-1]/3) 
     print(float(x[i+1]), 3**(-(i+1)), x[i+1]-(3)**(-(i+1))) 

printRecurrence()

인쇄 아웃 계산이 정확하게 증명 답을 일치하는지 보여줍니다.

부정확하지만 교훈 대답

decimal 모듈은 정밀의 사용자 지정 수준을 허용; 50 회 반복하려면 60 포인트 이상의 정밀도가 필요합니다.

import math 
from decimal import * 
getcontext().prec = 60 

def printRecurrence(): 
    x = [0]*51 #initialize list of x values 
    x[0] = Decimal(1) 
    x[1] = Decimal(1)/Decimal(3) 
    for i in range(1, 50): 
     x[i+1] = (Decimal(13)/Decimal(3))*x[i] - (Decimal(4)/Decimal(3))*x[i-1] 
     print(float(x[i+1]), 3**(-(i+1)), float(x[i+1]-Decimal(3)**(-(i+1)))) 

printRecurrence()

Jean-François의 대답과 마찬가지로 결과와 계산 된 3 ** - n의 값 및 그 차이를 인쇄했습니다. 결과에 대한 효과를 보려면 정밀도 getcontext().prec으로 재생할 수 있습니다.

0.111111111111 0.111111111111 -1e-60 
0.037037037037 0.037037037037 -4e-60 
0..-1.57e-59 
0.00411522633745 0.00411522633745 -6.243e-59 
0.00137174211248 0.00137174211248 -2.4961e-58 
0.000457247370828 0.000457247370828 -9.984e-58 
0.000152415790276 0.000152415790276 -3.993577e-57 
5.08052634253e-05 5.08052634253e-05 -1.59742978e-56 
1.69350878084e-05 1.69350878084e-05 -6.38971879e-56 
5.64502926948e-06 5.64502926948e-06 -2.5558875048e-55 
1.88167642316e-06 1.88167642316e-06 -1.02235500146e-54 
6.27225474386e-07 6.27225474386e-07 -4.08942000567e-54 
2.09075158129e-07 2.09075158129e-07 -1.63576800226e-53 
6.96917193763e-08 6.96917193763e-08 -6.54307200905e-53 
2.32305731254e-08 2.32305731254e-08 -2.61722880362e-52 
7.74352437514e-09 7.74352437514e-09 -1.04689152145e-51 
2.58117479171e-09 2.58117479171e-09 -4.18756608579e-51 
8.60391597238e-10 8.60391597238e-10 -1.67502643432e-50 
2.86797199079e-10 2.86797199079e-10 -6.70010573727e-50 
9.55990663597e-11 9.55990663597e-11 -2.68004229491e-49 
3.18663554532e-11 3.18663554532e-11 -1.07201691796e-48 
1.06221184844e-11 1.06221184844e-11 -4.28806767185e-48 
3.54070616147e-12 3.54070616147e-12 -1.71522706874e-47 
1.18023538716e-12 1.18023538716e-12 -6.86090827496e-47 
3.93411795719e-13 3.93411795719e-13 -2.74436330998e-46 
1.3113726524e-13 1.3113726524e-13 -1.09774532399e-45 
4.37124217466e-14 4.37124217466e-14 -4.39098129597e-45 
1.45708072489e-14 1.45708072489e-14 -1.75639251839e-44 
4.85693574962e-15 4.85693574962e-15 -7.02557007356e-44 
1.61897858321e-15 1.61897858321e-15 -2.81022802942e-43 
5.39659527735e-16 5.39659527735e-16 -1.12409121177e-42 
1.79886509245e-16 1.79886509245e-16 -4.49636484708e-42 
5.99621697484e-17 5.99621697484e-17 -1.79854593883e-41 
1.99873899161e-17 1.99873899161e-17 -7.19418375532e-41 
6.66246330538e-18 6.66246330538e-18 -2.87767350213e-40 
2.22082110179e-18 2.22082110179e-18 -1.15106940085e-39 
7.40273700597e-19 7.40273700597e-19 -4.60427760341e-39 
2.46757900199e-19 2.46757900199e-19 -1.84171104136e-38 
8.22526333997e-20 8.22526333997e-20 -7.36684416545e-38 
2.74175444666e-20 2.74175444666e-20 -2.94673766618e-37 
9.13918148886e-21 9.13918148886e-21 -1.17869506647e-36 
3.04639382962e-21 3.04639382962e-21 -4.71478026589e-36 
1.01546460987e-21 1.01546460987e-21 -1.88591210636e-35 
3.38488203291e-22 3.38488203291e-22 -7.54364842542e-35 
1.12829401097e-22 1.12829401097e-22 -3.01745937017e-34 
3.76098003645e-23 3.76098003657e-23 -1.20698374807e-33 
1.25366001171e-23 1.25366001219e-23 -4.82793499227e-33 
4.17886668798e-24 4.1788667073e-24 -1.93117399691e-32 
1.39295549185e-24 1.3929555691e-24 -7.72469598763e-32

출처

2017-01-19 18:47:22

그리고 그게 아주 좋습니다. 나는 바보 인'Decimal (4/3)'을하고 있었다 :) 더 많은 남자들이 상상해 보라. –

나눗셈을 수행하기 전에 num/denom을 'decimal'로 변환 할 때도 왜 '분수'로 실패하는지 이해할 수 없습니다. –

배열의 이전 요소를 분수 정의에 포함 시키면'fractions'를 사용하여 올바른 답을 얻을 수 있습니다. 'fractions.Fraction (13 * x [i]/3) - fractions.Fraction (4 * x [i-1]/3)' 그래서 오류는 두 개의 Fraction 객체를 사용하여 곱셈 연산자'*'를 해석 한 것으로 보입니다. –

부동 소수점 누적 오류이 발생합니다.

현재 결과는 이전 결과에 따라 다르며 float 유형은 근사치 일 뿐이므로 실행중인 재발이 많을수록 누적 오류가 증가합니다.

합리적인 숫자를 다루고 있으므로 fraction 모듈을 권하고 싶습니다.

import fractions 
def printRecurrence(): 
    x = [0]*51 #initialize list of x values 
    x[0] = fractions.Fraction(1,1) 
    x[1] = fractions.Fraction(1,3) 
    for i in range(1, 50): 
     x[i+1] = fractions.Fraction(13/3)*x[i] - fractions.Fraction(4/3)*x[i-1] 
     print(float(x[i]),3**(-i),x[i]-3**(-i))

printRecurrence()

나는 결과, 3**-n의 계산 된 값과의 차이를 인쇄했습니다

0.3333333333333333 0.3333333333333333 0.0 
0.11111111111111109 0.1111111111111111 -1.3877787807814457e-17 
0.037037037037036924 0.037037037037037035 -1.1102230246251565e-16 
0..-4.683753385137379e-16 
0.004115226337446681 0.00411522633744856 -1.878705524482882e-15 
0.001371742112475337 0.0013717421124828531 -7.516123140538511e-15 
0.0004572473707975519 0.0004572473708276177 -3.006584781486965e-14 
0.00015241579015560884 0.00015241579027587258 -1.2026374362518466e-13 
5.080526294423582e-05 5.080526342529086e-05 -4.810550354871108e-13 
1.6935085884210096e-05 1.6935087808430286e-05 -1.9242201893822884e-12 
5.645021572595982e-06 5.645029269476762e-06 -7.696880780399043e-12 
1.8816456356357935e-06 1.8816764231589208e-06 -3.0787523127313645e-11 
6.27102324293796e-07 6.272254743863069e-07 -1.2315009251094865e-10 
2.0858255775872449e-07 2.0907515812876897e-07 -4.926003700444828e-10 
6.772131789607814e-08 6.969171937625632e-08 -1.9704014801781827e-09 
1.534896720470598e-08 2.3230573125418773e-08 -7.881605920712794e-09 
-2.378289930771161e-08 7.743524375139592e-09 -3.15264236828512e-08 
-1.2352451993969162e-07 2.581174791713197e-09 -1.2610569473140483e-07 
-5.035623873283815e-07 8.603915972377324e-10 -5.044227789256192e-07 
-2.0174043185033973e-06 2.8679719907924413e-10 -2.0176911157024764e-06 
-8.070668863743547e-06 9.559906635974805e-11 -8.070764462809906e-06 
-3.228302598488417e-05 3.186635545324935e-11 -3.228305785123962e-05 
...

(20) 후 재발, 차이 증가하지만, 이미 훨씬 낫다 .

편집 : 데이비드 대답은 나에게 떠올랐다.

fraction 모듈은 2 개의 정확한 계산 된 정수 사이의 나눗셈을 수행하지만, float로 변환하면 정밀도가 손상됩니다.

출처

2017-01-19 18:23:23

훌륭한 답변입니다. 숙제 문제에 의도 된 교훈이있는 것 같습니다. "분수 사용"이 그 것이지 궁금합니다 ... – hop

숙제 문제는 컴퓨터의 정밀도가 제한되어 있음을 보여주기위한 것입니다. –

3 ** - n 정확하지 않습니까? 3 ** - n은 항상 양수 여야합니다. 'decimal' 라이브러리를 사용하여 소수점 이하 60 자리 이하의 정밀도를 얻은 결과, 50 회 반복되는 모든 결과와 일치합니다. 플로트로 다시 변환 할 때 이상한 점이있는 것 같습니다. –

답변

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