x 제곱의 제곱근은 x와 같습니다.

Question

배정도 부동 소수점 (음수가 아닌) 숫자 x이 주어지면 사각형의 제곱근은 항상 자신과 동일합니까? 광장은 무한대 또는 될 때

x == z 

나는이 사건에 관심이 아니에요 : 그래서를

x = <non-negative double> 
y = x^2 
z = sqrt(y) 

: 즉

, 다음을 수행하면 정밀도의 손실이있다 0, 배정도에 맞는 숫자.

Answer 1

#include <stdio.h> 
#include <math.h> 

int main(void) { 
    double x = 1.0000000000000001E-160; 
    double square = x*x; 
    double root = sqrt(square); 
    if (root != x) { 
    printf("%.20g\n", x); 
    printf("%.20g\n", root); 
    } 
} 

출력

 
1.0000000000000001466e-160 
9.9999443357584897793e-161 

여기에서 일어나고있는 것은 x는 사각형으로 만 표현할 수 있음을의 사각 제로가 아닌 것으로 충분하지만, 충분히 작은 것입니다 사용 가능한 정밀도를 줄이는 비정규 숫자입니다.

나는 @ LưuVĩnhPhúc의 대답에 대한 @ MarkDickinson의 의견이 대체로 옳다는 인상을받습니다. x과 x*x이 모두 양수로 정규화 된 숫자 인 경우, 증명할만한 것은 아니지만 (약간의 작은 범위에 대해) x != sqrt(x*x)의 빠른 무차별 대항력이있는 예제를 찾을 수 없습니다.

Answer 2

숫자를 제곱하여 원래 값의 비트 수의 두 배 값을 생성합니다. 따라서 x가 너무 크면 x^2과 x에서 일부 비트가 손실되어 y에서 완전히 복구 할 수 없습니다. [편집 : 올바른 반올림으로 x에서 y를 얻을 수 있습니다.] IEEE-754 배정 밀도의 경우, x이 유효 부분에 26 비트를 초과하면 y의 결과가 잘립니다. 그것은 가장 간단한 경우입니다.

x 몇 유효 숫자 비트하지만 매우 크거나 매우 작은 지수가있는 경우 다음 x^2를 double 정밀도로 너무 큰 수 있습니다 및 x를 복구 할 방법이없는 경우 inf 또는 비정규 숫자가 될 것이다. IEEE-754 표준이 필요하기 때문에 x 다음 sqrt(y)가 x와 같은 것 너무 크거나 너무 작없는 경우

+, -, *, / 및 sqrt는 제대로를 반올림합니다.

Examples:

#include <iostream> 
#include <ios> 
#include <iomanip> 
#include <cmath> 

using std::fixed; 
using std::hexfloat; 
using std::cout; 

int main() { 
    double x = 1.25e155; 
    double y = x*x; 
    cout << hexfloat << "x = " << x << ", y = " << y << ", sqrt(y) = " << sqrt(y) << '\n'; 

    x = 1.25e-155; 
    y = x*x; 
    cout << hexfloat << "x = " << x << ", y = " << y << ", sqrt(y) = " << sqrt(y) << '\n'; 
    return 0; 
}