스칼라 트리플 제품 및 결정

Question

오늘 문제를 해결하려고 할 때 뭔가 알게되었습니다. 스칼라 트리플 제품 행렬식 동일 또는 행과 같은 세 가지 벡터와 세 한 3 행렬이다

A = [, B, C]

DET (A) = ( X B) * C

내가 렌더링리얼 타이머이 건너 왔어요, 내가 reall 수 없습니다 이것이 왜, 또는 심지어 유용한지를 파악하십시오. 매트릭스의 상단을 따라 단위 벡터를 쓰는 부분을 사용하여 교차 곱을 계산하는 단축키 방법과 관련이있는 것처럼 보입니다. 그러나 저는 항상 니모닉과 실제 소리가 아닌 것으로 생각했습니다.

여기에 진정한 관계가 있습니까? 아니면 행복한 우연의 일치입니까?

Answer 1

n-by-n 행렬의 행렬식은 n 개의 n 차원 행 (또는 열) 벡터 (또는 다음에 의해 선형 변환 된 단위 큐브의 볼륨)에 의해 뻗어있는 평행 육면체의 부피입니다. 그 행렬). (axb) .c 제품은 3 차원에서 완전히 동일합니다. axb는 a와 b에 수직이고 a와 b에 걸친 평행 사변형의 면적과 같은 길이의 벡터를 제공합니다. (axb) .c는 그 평행 사변형에 대한 c의 높이를 그 영역에 곱한 값입니다. 그래서, 아니오, 그것은 우연이 아닙니다.

Answer 2

전혀 우연이 아닙니다. 이것은 상당히 표준적인 결과입니다. 교차 곱 a Xb는 종종 단 위 벡터가 단위 벡터 ijk이고 다음 행이 a1 a2 a3이고 하단 행이 b1 b2 b3 인 결정식 형태로 작성됩니다.

|i j k| 
|a1 a2 a3| 
|b1 b2 b3| 

지금 다른 벡터 (c)와 그의 dotproduct을 복용하고 그냥 맨 윗줄에 c를 쓴 것처럼 당신은 같은 일을 얻는다.

|i j k|      |c1 c2 c3|  |c1 c2 c3| |a1 a2 a3| 
|a1 a2 a3| . (c1,c2,c3) =  |a1 a2 a3| = -|a1 a2 a3| = |b1 b2 b3| 
|b1 b2 b3|      |b1 b2 b3|  |b1 b2 b3| |c1 c2 c3| 

편집 : 또한 wikipedia page for scalar triple product 행렬의 행렬식에 상당 행이나 열 등의 벡터를 사용하여 말한다. Q.E.D.