MATLAB 행렬 함수의 특정 결과에 대한 설명

Question

MATLAB에서 행렬식 함수를 사용할 때 간단하지만 특별한 동작을 관찰했으며 함수 도움말 설명서에서 이에 대한 설명을 찾지 못해 일부 설명을 듣고 싶습니다. 나는 다음과 같은 코드를 사용하여 임의의 단위 행렬 Q를 생성하고 있습니다

:

det(Q) 

내가를 기대 : 그 후

[Q, R] = qr(randn(3)); 

, 나는 det 기능 Q의 결정을 평가 결과는 -1.000 또는 1.000이됩니다. 그러나 형식이 일정하지 않은 것 같습니다. 나는 이런 식으로 뭔가를 할 때 그래서 :

는

detResults = zeros(100,1); 
for ii = 1:100 
    [Q, R] = qr(randn(3)); 
    detResults(ii,1) = det(Q); 
end 

detResults 벡터 1.000 언젠가 1이 포함되어 있습니다. 인쇄 형식 문제일까요? 아니면 다른 어떤 것으로 인해 발생 했습니까?

Answer 1

부동 소수점 정밀도와 관련이 있습니다. 루프를 반복 할 때마다 이론적으로 행렬에 대한 1의 결정자를 얻지 만 행렬 자체의 수는 비이성적이므로 이론적으로 1의 값을 얻는 유일한 방법은 숫자가 무한 정밀도. 때로는 MATLAB이 보증을 통해 안전하게 1로 반올림 할 수 있도록 충분한 숫자가 있습니다. 또한, 당신은 전체 그림을 못 받고있어. 1.0000 및 1을 보는 이유는 인쇄 형식과 관련이 있습니다. 기본 인쇄 형식은 소수점 이하 다섯 자리까지만 표시 할 수 있지만 더 큰 그림을 감상하기 위해 소수점 이하 자리를 표시하는 것이 현명 할 수 있습니다. format long g와

>> detResults 

detResults = 

    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 
    1.0000 

정밀도가 향상된 형식 (단지 표시 목적으로) 사용 : 여기

는 기본 인쇄 형식을 사용하여 10 반복 대신에 100

를 사용하여있는 작은 예입니다

>> format long g; 
>> detResults 

detResults = 

        1 
    0.999999999999999 
        1 
        1 
    0.999999999999999 
        1 
        1 
    0.999999999999999 
        1 
    0.999999999999999 

내부적으로 실제로는 Q 행렬이 무엇인지에 따라 달라지며 y 랜덤 행렬을 생성합니다. 그러나 추가 계산을 위해 정밀도를 사용하는 한, 0.999...은 1에 매우 가깝습니다. 따라서 모든 의도와 목적에 대해 1로 간주해야합니다.

Answer 2

나는 유한 정밀도의 효과를 관찰하고 있다고 생각합니다. 부동 소수점 표현의 기본적으로 MATLAB은 64 비트 부동 소수점 숫자를 사용합니다. 따라서 2^64 고유 요소가있는 유한 수 집합 만이이 시스템으로 정확하게 표현 될 수 있습니다. 중간 계산 중에 발생하는 다른 모든 숫자는 가장 가까운 표현 가능한 값으로 반올림됩니다. 이러한 루핑 작업으로 인해 대부분의 애플리케이션에서 무시할 수있는 오류가 발생하지만 모든 애플리케이션에서 발생하는 것은 아닙니다.

가

당신은 당신의 코드에 줄을 추가하여 결과의 ​​오류를 추정 할 수 :

err = detResults - 1; 

간단한 예는 유한 정밀 유물을 관찰 할 수 있습니다 :

2-(sqrt(2))^2 

분명히, 이것은해야 정확히 0이되어야합니다. 그러나 MATLAB은 제곱근 및 제곱 단계에서 반올림 오류 때문에 0이 아닌 작은 숫자를 반환합니다.