푸리에 변환은 주기적 신호 만 처리합니까?

Question

비주기 신호는 DFT로 처리 할 수 ​​있습니다. DFT는 주기적 신호와 비 주기적 신호를 모두 처리 할 수 ​​있습니까?

Answer 1

이산 푸리에 변환 (DFT)을 정의 RELATIO N 포인트 시간 영역 시퀀스 x [n], n = 0..N-1, 및 N- 포인트 주파수 도메인 시퀀스 (\ ω = 0과 2π 사이에 균일하게 이격 된 푸리에 변환의 샘플) X [k], k = 0..N-1이다.순방향 변환은에 의해 주어진다 : 행렬로 표현 될 수

X[k] = 1/N \sum_{n=0}^{N-1} x[n] exp{-j 2\pi k.n/N} 

는 X 및 X는 시간 및 주파수 영역에 대응하는 N 요소 열 벡터이다

X = D x 

곱셈 및 D는 N 개의 별 N DFT 행렬

D_{kn} = 1/N exp{-j 2\pi k.n/N} 

(따라서 역변환 사소 D의 역행렬에서 유래 변환).

이와 같이, N 포인트 입력 시퀀스 x [n]에 대해 X [k]를 계산할 수 있으며 유한 길이 시퀀스에 대한 주기성을 정의하는 것이 훨씬 의미가 없습니다. 만약 x [n]이 정확하게 반복되는 몇 개의 조각으로 나뉠 수 있다면 (예를 들어, 반복 된 N/2 점 시퀀스), X [k]에서 대응하는 구조를 볼 것입니다 (모든 홀수 번호의 스펙트럼 샘플은이 예).

이제는 DFT를 N 포인트 타임 도메인 시퀀스의 무한 반복 반복으로 구성된 무한한 지속 시간 시퀀스의 푸리에 변환으로 해석 할 수 있습니다. 이 경우, DFT 값 X [k]는이 무한 에너지 (그러나 유한 전력) 시퀀스의 스펙트럼을 구성하는 Dirac 델타의 가중치에 해당합니다.

그러나 유한 길이 시퀀스의 푸리에 변환을 샘플링하는 것으로 해석 할 수도 있습니다.이 시퀀스는 유한 N 포인트 범위에서만 0이 아닌 무한대 지속 시퀀스와 동일합니다. 이 경우 X [k] 값은 전체 연속 주파수 푸리에 변환의 유한 값 샘플입니다.

Answer 2

가능합니다. 좋은 설명은 made here 아래에 직접 인용되어 있습니다. (http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/Lectures/FourierXform/FourierXFormI.html는)

수렴 기준의 첫 번째 위반주기 함수는 푸리에 변환 없을 것으로 보인다. 그러나 임펄스 함수를 허용하는 경우이 제한을 회피 할 수 있습니다 (주기적 함수와 비주기 함수 모두에 대해 푸리에 변환을 사용할 수 있음) .

간단한 임펄스 이 2p로 스케일링 된 주파수 도메인 함수를 고려하십시오. (스케일링 계수는 나중에 편리 할 것입니다).

당사 역 푸리에 변환을 계산하여 해당 시간 도메인 함수를 찾을 수

는 (마지막 단계는 사용 하였다 충동의 선별 속성 함수). 시간 도메인 함수 x (t)는 주기적입니다. 그래서 우리가 푸리에 영역에서 임펄스를 허용한다면 우리는 시간 영역에서 주기적으로 기능을 가질 수 있습니다. 이것은 특별한 경우 였지만, 은 푸리에 변환을 사용하는 임의의 (수렴 계열의푸리에 급수와 같은 수렴 조건) 피리어드 함수를 나타낼 수 있습니다. 먼저 은 충동의 무한한 합계 인 푸리에 변환을 고려하십시오 (이 은 고안되었지만 유용한 것으로 단순화됩니다).

는 푸리에 먼저 CN을 푸리에 시리즈 계수를 찾아주기 신호 X (t)으로 변환을 찾기 위해 (이 유도도. 체질 속성을 사용하여) 그래서 다음