numpy.einsum()에 대한 추가 정보

Question

numpy.einsum() 함수를 이해하려고하는데 문서뿐만 아니라 this answer에서 stackoverflow 여전히 몇 가지 질문을 남겨주세요.

답변에 정의 된 아인슈타인 합계와 행렬을 봅시다.

A = np.array([0, 1, 2]) 

B = np.array([[ 0, 1, 2, 3], 
        [ 4, 5, 6, 7], 
        [ 8, 9, 10, 11]]) 

np.einsum('i,ij->i', A, B) 

그래서, 아인슈타인의 합에 대한 이해에 기초하여, I는 표기법 (A_I * B_ij)에 상응하는이 기능을 번역 할 그래서 구하는 것이다 :

J = 1 : A_1 * B_11 + A_2 * B_21 + A_3 * B_31

J = 2 : A_1 * B_12 + A_2 * B_22 + A_3 *

등 j는 = 4이 제공 될 때까지

J = 1 B_32 : 0 + (4) + 16

j = 2 : 0 + 5 + 18

이것은 내 이해에 따라 아인슈타인 합계입니다. 대신, 함수는 전체 합계를 수행하지만, 우리는 (A_I * B_ij)의 결과

0 0 0 0 
4 5 6 7 
16 18 20 22 

방법이 실제로 기능에 의해 제어를 발견 할 수있는 매트릭스에 별도의 용어를 저장하지 않는 이유는 무엇입니까? 나는 설명서에 했나요으로이 출력 라벨에 의해 제어되는 느낌 :

출력이 잘 로 출력 첨자 레이블을 지정하여 제어 할 수 있습니다. 이 레이블 순서를 지정, 그래서 어떻게 든 내가 ->i 퍼팅 내부 금액의 합산을 비활성화 가정

을 원하는 경우 이 허용 또는 강제로 합산 허용한다. 그러나 이것이 정확히 어떻게 작동합니까? 이것은 나를 위해 명확하지 않습니다. ->j을 넣으면 실제 아인슈타인 합계가 예상대로 제공됩니다.

Answer 1

아인슈타인 합계에 대한 이해가 올바르지 않습니다. 작성한 첨자 조작은 곱셈이 올바르지 만 합계가 잘못된 축 위에 있습니다.

이것이 의미하는 바를 생각해보십시오 : np.einsum('i,ij->i', A, B).

1. A는 (i,) 모양을 가지고 있으며, B는 (i, j) 모양이있다.
2. B의 모든 열에 A을 곱하십시오.
3. B의 두 번째 축, 즉 j이라고 표시된 축 위에 합계합니다. 당신의 첨자 표기법 모양 (j,) == (4,)의 출력을 제공하는 동안

이는 모양 (i,) == (3,)의 출력을 제공합니다. 잘못된 축을 합산 한 것입니다.

더 자세히 :

는 곱셈이 항상 먼저 일어나는 것을 기억하십시오. 왼쪽 첨자는 입력 배열의 행/열/등이 서로 곱해질 함수 인 np.einsum을 알려줍니다. 이 단계의 출력은 항상 최고 차원 입력 배열과 동일한 모양을 갖습니다. 즉,이 시점에서 가상 "중간"배열의 모양은 (3, 4) == B.shape입니다.

곱셈 후에는 합계가 있습니다. 이것은 오른쪽에서 이 생략 된 인 첨자에 의해 제어됩니다. 이 경우 j은 생략되며 이는 배열의 첫 번째 축을 따라 합계 함을 의미합니다. (0을 따라 합산 한 것입니다.)

대신 np.einsum('i,ij->ij', A, B)이라고 쓰면 첨자가 생략되지 않으므로 은이 될 것입니다. 따라서 질문이 끝나면 얻은 배열을 얻을 수 있습니다.

예 1 :

없음 생략 첨자, 그래서 아무 요약 여기

은 몇 가지 예입니다. B 열에 A을 곱하면됩니다. 이것이 여러분이 작성한 마지막 어레이입니다.

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all() 
True 

예 2 : 예를 들어

동일합니다. 열을 곱한 다음 출력의 열을 합합니다.

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all() 
True 

예 3 :

위를 작성한으로 합계. 열을 곱한 다음 출력의 행을 합계 행으로 합계합니다.

>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all() 
True 

예 4 : 우리는 단지 전체 배열에 걸쳐 총 합계를 얻기 위해, 마지막에 모든 축를 생략 할 수 있습니다

참고.

>>> np.einsum('i,ij->', A, B) 
98 

예 5 : 우리가 입력 라벨 'i'을 반복하기 때문에 요약이 정말로 일어나는 것을

참고. 우리가 대신 입력 배열의 각 축에 대해 서로 다른 라벨을 사용하는 경우, 우리는 크로네 커 제품에 비슷한 일을 계산할 수 있습니다 :

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape 
(3, 3, 4) 

편집 아인슈타인 합계의 NumPy와 구현이 전통에서 약간의 차이가

정의. 기술적으로, 아인슈타인 총액에는 "출력 라벨"에 대한 아이디어가 없습니다. 그것들은 반복 된 입력 레이블에 항상 내포되어 있습니다.

docs : "Whenever a label is repeated, it is summed." 전통적으로 우리는 np.einsum('i,ij', A, B)과 같은 것을 쓸 것입니다. 이것은 np.einsum('i,ij->j', A, B)과 같습니다. i이 반복되므로 축이 j 인 채로 합산됩니다. 을 지정하지 않은 경우 출력 레이블은 입력에서 반복되지 않는 레이블 만 지정하는 것과 같다고 생각할 수 있습니다. 즉, 레이블 'i,ij'은 'i,ij->j'과 동일합니다.

출력 레이블은 NumPy에서 구현 된 확장 또는 확대 기능으로, 발신자가 축에서 합계를 강제 적용하거나 에 합계를 적용 할 수 있습니다. 문서에서 : "The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."