선형 방정식의 과소 결정 시스템에서 "부분"해를 찾는 방법은 무엇입니까?

Question

이 행렬을 가지고 있다고 가정 해 보겠습니다.

1 1 | 1
0 0 1 | 1

이 시스템에는 분명히 무한한 솔루션이 있습니다. = -x2
X3 = 1 개

1 개

X1은 X2에 의존하고 X2는 무료입니다,하지만 내가 관심이있는 것은 X3입니다. x1, x2 및 x3에 대해 [NaN, NaN, 1]과 같은 솔루션을 찾을 수있는 알고리즘이 있습니까?

제가 생각하기에 가우스 제거 알고리즘의 변형을 사용할 수는 있지만 실제로 수행하는 방법은 잘 모르겠습니다.

Answer 1

시스템에 적어도 하나의 솔루션이 있다고 가정합니다 (표준 가우스 제거를 사용하여 확인할 수 있음).

보조 정리 : 변수의 값은 줄 감싸기 형식의 행에있는 유일한 변수 인 경우에만 고정됩니다.

증명 : 행의 유일한 변수 인 경우 균질 시스템의 모든 솔루션에 대해 0이어야합니다. 따라서 원래 시스템에서는 상수입니다.

행의 유일한 변수가 아닌 경우 그 값은 고정되어 있지 않습니다. 사실 행의 다른 변수는 자유 다. 그래서 우리는 값을 임의로 선택할 수있다. 이 자유 변수의 두 가지 다른 선택은 피벗 변수의 두 가지 다른 값을 제공합니다.

그래서 최종 솔루션은 다음과 같다 :

1. 는 가우스 소거법을 이용하여 모체의 감소 된 열 제대 형태 얻기.

2. 적어도 하나의 해결책이 있는지 확인하십시오. 뭔가를 돌려주지 않으면.

3. 변수가 유일한 변수 인 경우 변수 값을 포함하는 벡터를 반환하고 그렇지 않으면 Nan을 반환합니다. 귀하의 경우에는

는 감소에 쉴론 형식은 다음과 같습니다

1 1 0 0 
0 0 1 1 

마지막 변수는 두 번째 변수가없는 고유 한 값 1이 있습니다. 첫 번째 변수는 그 행에있는 유일한 변수가 아닙니다. 결과는 [Nan, Nan, 3]입니다.