동일한 센터를 공유하는 수직 타원 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

Question

필자가 쓰고있는 프로그램은 두 개의 타원의 교차점을 찾아야하며 둘 다 수직이며 같은 중심을 공유한다. 나는 네 가지의 첫 번째 해결책 만 필요합니다.

타원에 대한 표준 방정식을 사용하는 경우이를 해결하기 위해 사용할 수있는 값은 각 타원의 수직 및 수평 구성 요소 반경 또는 'a'및 'b'값입니다. 전에는 원뿔 비선형 시스템을 풀었지만, 대수적 아이디어를 받아서 알고리즘으로 바꾸는 방법을 모릅니다.

이것은 비교적 간단하지만 나는 완전히 붙어 있습니다. 이것이 바보 같은 질문이라면 미안하지만, 나는 여전히 답을 고맙게 생각합니다.

Answer 1

은 쌍 오른쪽으로 (a, b), 인자 Y^2 모두 형태 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1에서 타원의 방정식을 가지고, 및 왼쪽 측면 같게 :

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = y^2 (1) 
(x*b2/a2)^2 - b2^2 = y^2 

이 단순화하기 :

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = (x*b2/a2)^2 - b2^2 

x에 대한 2 차 방정식으로 최대 두 개의 실제 솔루션 (x1, x2)을 제공합니다. x1이 연결된 타원 방정식 (1)은 y의 두 값을 제공합니다 (y1, y2 이름 지정).

물론

(x1, y1) 
(x1, y2) 
(x2, y1) 
(x2, y2) 

이 덜 교차점이있을 수 있지만, 어떤 차 방정식이 복잡한 솔루션이 때문에이 결정하기 쉬운 : 귀하의 솔루션입니다.

Answer 2

타원의 중심이 원점이되는 방식으로 좌표계를 이동했다고 가정 해 봅시다. 그런 다음 타원 모두 정규 방정식을 이용하여 기술 될 수있다 :

어디 ₁, B ₁, ₂, b은 엘 ipses '매개 변수.

남아있는 유일한 방법은이 방정식 시스템을 해결하는 것입니다. 예를 들어, Wolfram|Alpha (나는 B 2_{위한 2} 및 D에 대한 C 치환 여기)를 위해 할 수있다.

가정하여 타원이 아닌 사소한, 솔루션의 하나의 가능한 쌍은 다음과 같습니다

루트 전에 다른 +/- 부호가 다른 쌍있다.