arc 길이에 대해 일정한 속도로 함수를 계산하십시오.

Question

다항식 함수로 설명 된 특정 코스를 따라 차량을 시간 경과에 따라 움직이는 실시간 그래픽 엔진 (C++/OpenGL)을 구현하고 있습니다. 이 함수 자체는 프로그램 외부에서 프로그래밍 방식으로 생성되었으며 고차원 (25 점 이상)이므로 여기에 게시 할 수는 없습니다 (어쨌든 중요하지 않다고 생각합니다). 런타임 중에 함수는 변경되지 않으므로 첫 번째 및 두 번째 파생 상품을 한 번 계산하여 나중에 신속하게 사용할 수 있습니다.

내 문제는 일정한 속도 (예 : 초당 10 단위)로 곡선을 따라 이동해야하므로 내 함수 매개 변수가 시간과 직접 같지 않기 때문에 두 지점 x1과 x2 사이의 호 길이가 다르기 때문에 함수 값에 따라 다릅니다. 예를 들어 f (a + 1) - f (a)의 차이는 함수가 점 a 및 b에서 보는 방법에 따라 f (b + 1) - f (b)보다 크게 또는 작을 수 있습니다.

움직임이 시각적이며 더 이상 처리되지 않으므로 모든 근사값도 정상이므로 100 % 정확한 솔루션이 필요하지 않습니다. 또한 모든 것을 런타임에 각 프레임 (60fps)에서 계산해야하므로 계산 시간에 따라 복잡한 수학으로 방정식을 풀면 문제가되지 않을 수도 있습니다.

나는 어디서부터 시작 해야할지 모르겠다. 그래서 어떤 생각의 기차라도 높이 평가할 것이다!

Answer 1

기준에 정확한 해결책이있는 것이 아니기 때문에 시각적으로 매력적인 근사치가 있으므로 여러 가지 가능한 해결책이 있습니다.

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첫 접근 방식은 내가 작은 반복에 의해 통합 실제 arclength을 근사하는 구현 (코멘트에 알니 타크에 의해 제안 이후 coproc 응답). 이 버전은 대부분의 경우 실제로 잘 작동했지만 가파른 각도에서는 안정적이지 못했으며 편평한 각도에서 너무 많은 반복을 사용했습니다. coproc가 이미 답변에서 지적했듯이, 가능한 해결책은 dx를 2 차 미분을 기반으로하는 것입니다.

이 모든 조정은 이 될 수 있지만 일 수 있습니다. 그러나 런타임 친숙한 알고리즘이 필요합니다. 이걸로 반복의 수를 예측하기가 어렵습니다. 그래서 나는 그것에 만족하지 않았습니다.

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(도 알니 타크 영감)을 제 방법은 (현재의 x 값의 유도체와 동일) 상기 계산 된 슬로프에 따라 "푸시"차량에 의해 1 차 도함수를 이용된다. 다음 x 값을 계산하는 기능은 정말 작고 빠릅니다. 시각적으로 명확한 부정확성은 없으며 결과는 항상 일치합니다.객체는 항상 직선과 함께 밀어되기 때문에

float current_x = ...; //stores current x 
float f(x) {...} 
float f_derv(x) {...} 

void calc_next_x(float units_per_second, float time_delta) { 
    float arc_length = units_per_second * time_delta; 
    float derv_squared = f_derv(current_x) * f_derv(current_x); 
    current_x += arc_length/sqrt(derv_squared + 1); 
} 

이 방법은, 그러나, 가능성 만 높은 프레임 시간의 경우 (광산은> 60 프레임) 충분히 정확 것이다 (내가 선택한 이유입니다) 상기 프레임 시간에 의존하는 길이.

Answer 2

프레임 사이의 일정한 속도와 시간이 주어지면 프레임 사이의 원하는 호 길이를 계산할 수 있습니다. 당신은 정확도가 바로 작동 할 수 적절한 dx 위의 함수를 선택하는 최고의 기준이 아니라고 때문에

#include <cmath> 
typedef double (*Function)(double); 

double moveOnArc(Function f, const double xStart, const double desiredArcLength, const double dx = 1e-2) 
{ 
    double arcLength = 0.; 
    double fPrev = f(xStart); 
    double x = xStart; 
    double dx2 = dx*dx; 
    while (arcLength < desiredArcLength) 
    { 
    x += dx; 
    double fx = f(x); 
    double dfx = fx - fPrev; 
    arcLength += sqrt(dx2 + dfx*dfx); 
    fPrev = fx; 
    } 
    return x; 
} 

: 그래서 다음 함수가 작업을 수행해야합니다. 물론, dx을 자동으로 (예 : 2 차 미분을 기반으로) 조정하거나 이진 검색으로 끝점을 좁히면 향상 될 수 있습니다.