전환 확률 행렬이 주어진다면 마르코프 체인의 고정 분포를 어떻게 얻을 수 있습니까

Question

mpow(P, 18)을 벡터 양식 & 행렬 형식으로 작성하려고합니다. 누구든지 저를 도울 수 있습니까?

또한 각 상태의 고정 분포를 찾으려고합니다. 여기

Pi_0 = ? 
Pi_1 = ? 
Pi_2 = ? 
... 
Pi_5 = ? 

는 내가 작성한 코드입니다 : 귀하의 질문에

P <- matrix(c(0, 0, 0, 0.5, 0, 0.5, 0.1, 0.1, 0, 0.4, 0, 0.4, 0, 0.2, 0.2, 0.3, 0, 0.3, 0, 0, 0.3, 0.5, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0.4, 0.6, 0, 0, 0, 0, 0, 0.4, 0.6), nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE) 

mpow <- function(P, n) { 
if (n == 0) diag(nrow(P)) 
else if (n == 1) P 
else P %*% mpow(P, n - 1) 
} 

mpow(P, 18) 

Answer 1

, 매트릭스 P은 전이 확률이다. 다음 상태 j 동안 현재 상태 i 인 확률이다

P[i, j] = Pr(k = j | k = i) 

mpow(P, n)은 천이 행렬의 n 승을 산출한다. 당신이 볼 수 있듯이 n가 큰 경우 예를 들어,

> mpow(P, 3) 
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] 
[1,] 0.000 0.030 0.105 0.250 0.280 0.335 
[2,] 0.001 0.025 0.111 0.254 0.260 0.349 
[3,] 0.006 0.032 0.113 0.266 0.224 0.359 
[4,] 0.006 0.048 0.144 0.289 0.172 0.341 
[5,] 0.000 0.024 0.156 0.400 0.248 0.172 
[6,] 0.000 0.000 0.048 0.272 0.432 0.248 

> mpow(P, 10) 
      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6] 
[1,] 0.002603379 0.02615891 0.1174816 0.3118660 0.2703684 0.2715217 
[2,] 0.002591038 0.02612154 0.1175283 0.3121341 0.2705060 0.2711190 
[3,] 0.002565915 0.02600925 0.1174628 0.3124644 0.2710401 0.2704575 
[4,] 0.002523007 0.02573033 0.1169686 0.3125272 0.2725643 0.2696866 
[5,] 0.002560361 0.02545419 0.1150961 0.3094197 0.2749053 0.2725643 
[6,] 0.002708774 0.02649409 0.1171436 0.3096530 0.2690952 0.2749053 

> mpow(P,50) 
      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6] 
[1,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 
[2,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 
[3,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 
[4,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 
[5,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 
[6,] 0.002590674 0.02590674 0.1165803 0.3108808 0.2720207 0.2720207 

는, 당신은 모든 행이 동일한 고정 분포를 도달한다. 즉, 초기 상태에 관계없이 특정 상태로 끝날 확률은 동일입니다.

이러한 수렴에 도달하면이 행렬의 모든 행은 고정 분포입니다. 예를 들어, 첫 번째 행을 추출 할 수 있습니다.

> mpow(P,50)[1, ] 
[1] 0.002590674 0.025906736 0.116580311 0.310880829 0.272020725 0.272020725