모든 기본 벡터에 평행 또는 수직 인 오브젝트 쿼터니언

Question

오브젝트 쿼터니온 q와 3D 공간을 형성하는 베이시스 벡터 vx, vy, vz가 주어지면 쿼터니온이 모든 베이시스 벡터에 평행인지 수직인지를 어떻게 확인할 수 있습니까? 예를 들어

, 내가 기저 벡터가 :

q(w,x,y,z) = (-0.973224, 0, -0.229860, 0) 

vx = (0.447410, 0, -0.894329) 
vy = (0, 1, 0) 
vz = (0.894329, 0, 0.447410) 

와 사원 수를 나는 사원 수는 기저 벡터의 모든하지만 어떻게 수직 또는 병렬 (또는 반 평행) 알고 실제로 계산할 수 있습니까?

다른 예는,

q(w,x,y,z) = (0.823991, 0, 0.566602, 0) 

이것은 기저 벡터의 모두에 수직 또는 평행 한 (또는 반 평행) NOT이다.

Answer 1

용어에 대한 참고 사항 : 엄밀히 말하면 "4 원수가 기본 벡터 중 하나에 수직"이라는 것이 정확히 무엇인지 분명하지 않습니다 ... 4 원 및 3 차원 벡터는 그렇게 비 교적입니다. 그러나 쿼터니언은 회전 축 (3 차원 벡터)과 스칼라 회전 각을 나타내는 것으로 생각할 수 있으므로 회전 축이 기저 벡터 중 하나와 수직인지 인지 알고 싶다고 가정합니다.

3 차원 회전으로 간주되는 단위 쿼터니언의 경우, q = (w, x, y, z)에 대해 x, y 및 z는 3 차원 벡터를 형성합니다 (qv라고 부름) w = cos (α/2)는 회전 각 α를 나타낸다.

귀하의 경우, qv = (x, y, z) = (0, -0.229860, 0). vx, vy 및 vz는 모두 단위 벡터 이므로 qv를 단위 벡터로 정규화하면 어떤 일이 일어나는지 쉽게 알 수 있습니다. 길이 (0.229860)로 나누어 qv_unit = (0, -1, 0)을 얻습니다.

: 단위 벡터 V1이 = (A, B, C) 및 V2 = (D, E, F)의 경우

: qv_unit와 VX, VY 및 VZ 사이 각도를 찾기 위해, 내적을 사용

cos (theta) = v1 dot v2 = ad + be + cf

qv_unit 도트 vx = 0 * .447410 + -1 * 0 + 0 * -894329 = 0 = cos (theta)이므로 theta = pi/2, 우리는 qv_unit이 vx와 수직임을 알 수 있습니다.

qv_unit 도트 vy = 0 * 0 + -1 * 1 + 0 * 0 = -1 = cos (theta)이므로 theta = pi이고 qv_unit은 vy와 역행합니다.

qv_unit 도트 vz = 0 * .894329 + .447410 = 0 = cos (theta)이므로 theta = pi/2이고, qv_unit 또한 vz에 수직입니다.

Answer 2

쿼터니온을 매트릭스로 변환하여이를 해결했습니다. 매트릭스로부터 베이시스 벡터를 취하여, 매트릭스 베이시스 벡터와 원래 베이시스 벡터 사이의 내적을 계산한다. 그것들이 모두 0 또는 1이면 쿼터니언은 원래 기본 벡터와 평행하거나 수직입니다.