Jacobian Determinant Scaling Factor 이해 및 유도

Question

저는 Jacobian Determinant를 이해하려고 노력해 왔습니다. 누군가가 나에게 포인터를 줄 수 있기를 바랍니다.

인터넷에서 찾은 대부분의 자료는 자코비언 결정 요인의 유도를 제공하지 않았습니다.

하나 개는 이러한 웹 사이트는 다음과 같습니다. (내가 그렇지 않으면 꽤 좋은 찾기) http://tutorial.math.lamar.edu

내가 코비안 행렬식에 대한 이해를 깊게하기 위해 많은 시간을 투자했습니다.

저는 지역/지역에서의 함수 통합이 에서 변환을 사용하여 어떻게 uv-axes와 을 정의하는 변환을 수행 했습니까? I는 간단한 변환 시작 예

: UV 축 2 배의 배율로 V 축 직교 XY 축, 로부터 -45 ° 회전

u = (x - y)/√2 
v = (x + y)/2√2 

, 즉 v = 1은 xy 좌표에서 2 단위 길이로 매핑됩니다.

위의 변환에 대해 uscale = 1, vscale = 2, 이라고 말합니다. 이 자외선 축을

는, I는 x 축으로부터 45 °로 회전되는 10x20 사각형 영역 을 단순화 되도록 X 축으로부터 45 °의 긴 치수를 가리킨다.

이러한 예제를 통해 저는 직감을 개발하기 시작합니다. Jacobian Determinant의 작동 원리.

Jacobian Determinant가 축척 계수 으로 이해되어 uv 축의 면적 측정을 xy 치수로 변환합니다.

uv- 축의 면적 측정은 다음과 같이 간단하게 주어집니다. Δu x Δv, 여기서 Δu = 10, Δv = 10, vscale = 2).

자코비언 결정 요인 스케일링 계수 = uscale x vscale (매우 직관적으로). XY-치수

면적 = Δu도 X ΔV X (uscale X vscale) 스퀘어, 보다 쉬울 수 그러한 단순한 자외선 위에 볼륨 = 10 × 10 × 1 × 2 = 200

통합 동일한 xy 지역에서 비스듬히 나타나는 .

처음 이해하면 저는 Jacobian Determinant가 어떻게 파생되는지 알아 내려고하고 있습니다.위의 변환 식에 파생

는 :

dx/du = uscale cos Θ 
dy/du = uscale sin Θ 
dx/dv = vscale cos (90° - Θ) 
dy/dv = vscale sin (90° - Θ) 

내가 얻을 수 : 나의 이해를 일치

areaInXY/areaInUV = uscale x vscale 

을

dx/du = √2/2 
dx/dv = √2 
dy/du = -√2/2 
dy/dv = √2 

또한 지오메트리에서 파생 할 수 있습니다.

그러나 코비 행렬식의 공식은 : 나는 여분의 COS 2Θ 요인 을 왜

∂(x, y)/∂(u, v) = ∂x/∂u ∂y/∂v - ∂x/∂v ∂y/∂u 
    = uscale * vscale * cos 2Θ 

이 나를 매우 당황 잎 직관적 인 감각을하지 않는 - 것 영역 확장 요소가 의존하는 이유 사각형이 어떻게 회전하는지 그리고 어떻게 uv-axes가 회전 하는가?!

내 추론이 위의 어디에서 잘못되었는지 누구나 볼 수 있습니까?

Answer 1

기본적으로 야 코비 행렬식이 어떤 역할을하는지 설명하겠습니다. 이것은 R^n에서 R^n으로의 매끄러운 함수 매핑을 위해 일반적으로 사실이지만, 단순화를 위해 R^2에 대해 작업한다고 가정합니다. F (x, y)를 부드러운 R^2에서 R^2 함수로 보자. 그러면 F (x, y)가 f1 (x, y)에 x 좌표를 보내고 점 (x, y)에서 y가 f2 (x, y)에 일치한다고 말할 수 있습니다. 그런 다음 점 (x, y), (x + dx, y), (x, y + dy) 및 (x + dx, y + dy)로 정의되는 극소의 직사각형 영역을 생각해보십시오. 자,이 무한 사각형의 영역은 dxdy입니다. 이 사각형이 F (x, y) 변환을 통과하면 어떻게됩니까? 우리는 다음과 같은 점 네 개의 좌표의 각 F (X, Y)를 적용하고 구하십시오

A:(x,y)->(f1(x,y),f2(x,y)) 
B:(x+dx,y) -> (f1(x+dx,y),f2(x+dx,y)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx) 
C:(x,y+dy) -> (f1(x,y+dy),f2(x,y+dy)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂y)dy) 
D:(x+dx,y+dy) -> (f1(x+dx,y+dy),f2(x+dx,y+dy)) (approx.)=(f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx + (∂f2/∂y)dy) 

등식이 거의 동일하고 정확하게 DX와 DY 0으로가는 한계에 길게, 그들은 최고 새로운 점에서 함수 F에 대한 선형 근사. (우리는 함수 f1과 f2의 테일러 근사치의 1 차 부분으로부터 이것을 얻는다.)

우리 변환 F (x, y)에, 우리는 변형 된 점 사이의 새로운 거리 벡터를 참조하에 새로운 (근사) 영역을 보면 A :

B-A:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx) 
C-A:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy) 
D-C:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx) 
D-B:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy) 

는 새로시피 변형 된 미소 영역은 평행 사변형이다. Let :

u=((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx) 
v=((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy) 

이 벡터들은 우리 평행 사변형의 가장자리를 구성합니다. 평행 사변형의 면적이다, U와 V 사이의 외적의 도움으로 표시 할 수 있습니다 :

area^2 = (u1v2 - u2v1)^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y)dxdy - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)dxdy)^2 
area^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y))^2 (dxdy)^2 
area = |(∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)|dxdy (dx and dy are positive) 
area = |det([∂f1/∂x, ∂f1/∂y],[∂f2/∂x, ∂f2/∂y])|dxdy 

그래서, 우리의 결정을하려고하는 행렬은 단순히 코비안 행렬이다. 앞에서 설명한 것처럼이 변환은 좌표 변환 함수 F가 매끄럽고 Jacobian 행렬이 역원이므로 0이 아닌 행렬식을 사용하면 n의 임의의 차원으로 확장 될 수 있습니다.

이것의 좋은 시각적 인 설명이에 주어진다 :에서 변환을위한 지오메트리 다시 http://mathinsight.org/double_integral_change_variables_introduction