균일 성 제한이없는 하이퍼 그래프의 꼭지점 채색은 NP-hard입니까?

Question

균일 성 제한이없는 하이퍼 그래프의 꼭지점 색은 NP-hard입니까? k-unoform 하이퍼 그래프의 정점 색상 표시가 NP 하드임을 보여주는 논문을 보았습니다. 그러나 일반적인 경우 (k- 유니폼이 아닌) 하이퍼 그래프의 정점 색칠이 NP 하드인지 여부를 명시 적으로 나타내는 소스는 찾을 수 없습니다.

Answer 1

이 질문에 답하기 전에 하이퍼 그래프에서 색칠과 균일 성 같은 많은 것들을 설명해야합니다. 여기서 다른 표기법을 사용하겠습니다. 하이브리드 그래프 H = (V, E)는 {1,2, ..., N}의 색을 할당하는 함수이다. . . , k}를 에지의 단색이없는 방식으로 H의 정점에 적용합니다 (단 가장자리에는 단일 색상 이외의 동일한 색상의 모든 정점이 없음).

하이퍼 그래프의 반음계 수 H는 H가 k- 컬러링을 허용하는 가장 작은 정수 k입니다.

하이퍼 그래프 H = (V, E)는 r- 균일이라고하며, 모든 에지가 카디널리티 (크기)가 정확히 r 인 경우입니다. 하이퍼 간판 (e)의 카디널리티는 (e)의 정점 수입니다.

r- 균일 하이퍼 그래프에 대한 k- 색상 표시가 r> = 3 인 것은 이미 NP 하드임을 확인했습니다. 이것이 사실이라면 (사실이라면) 일반적인 하이퍼 그래프에 비해 NP- 어렵습니다. 이것은 일반적 하이퍼 그래프보다 작은 문제이기 때문입니다.

이것이 사실임을 납득시키기 위해 r-uniform hypergraph 1의 Berg 정의를 살펴 보겠습니다. 이는 위의 정의와 동일합니다. | E _I | | 및 S (H) = 분 | E _제가

이다은 R (H) = 최대를 나타낸다하자. r (H) = s (H)이면 H는 r-uniform hypergraph입니다. 이제 폴리 노미 얼 시간에 이것을 색칠 할 수 있습니다. 즉, H가 k- 착색을 허용하는 가장 작은 정수 k를 찾았습니다. 그런 다음 s (H)가 r (H)보다 작을 수있는 일반적인 하이퍼 그래프의 경우 다항식 시간에 정점을 채울 수 있습니다.

하이퍼 그래프의 반음계 값의 정확한 값은 NP-hard입니다.