고지 기능의 효율적인 평가

Question

누구도 초고속 함수를 평가하는 알고리즘에 대한 경험이 있습니까? 나는 일반적인 참고 문헌에 흥미가있을 것이다. 그러나 누군가가 그것을 다루었을 경우 나의 특별한 문제를 기술 할 것이다.

내 특정 문제는 3F2 (a, b, 1; c, d; 1) 형식의 함수를 평가하는 것입니다. 여기서 a, b, c 및 d는 모두 양수 값이고 c + d> a + b + 1. 닫힌 형식 수식을 가진 많은 특별한 경우가 있지만, 내가 아는 한 일반적으로 그런 수식이 없습니다. 0에 집중된 멱급수는 1로 수렴하지만 매우 느리게 진행됩니다. 연속 계수의 비율은 한도로 1이됩니다. Aitken 가속화가 도움이 될지도 모릅니다.

Answer 1

연속 항의 비율을 알고 합리적인 함수 인 시리즈를 합산하는 것이 맞습니까?

나는 Gosper's algorithm과 나머지 도구들을 증명하기 위해 hypergeometric identities (그리고 그것들을 찾는 것)이 정확하게 이것을한다고 생각하니, 맞습니까? (Wilf and Zielberger의 A=B book online. 참조)

Answer 2

나는 Aitken 가속도를 테스트했으며이 문제에 도움이되지 않는다 (Richardson 외삽 법도 마찬가지 임). 이것은 아마도 Pade 근사가 작동하지 않는다는 것을 의미합니다. 나는 잘못된 것을했을 수도 있습니다. 그러니 모든 수단을 동원하여 직접 시험해보십시오.

나는 두 가지 접근법을 생각할 수 있습니다.

하나는 초기 값을 얻기 위해 수렴이 빠른 z = 0.5와 같은 어떤 지점에서 계열을 평가 한 다음 hypergeometric differential equation을 ODE 해석기에 꽂아 z = 1로 앞으로 이동하는 것입니다. 나는 이것이 실제로 얼마나 잘 작동하는지 모른다. 그것은 z = 1이 singularity이기 때문에 (정확하게 기억한다면) 그렇지 않을 수도 있습니다.

두 번째는 3F2의 정의를 Meijer G-function으로 사용하는 것입니다. Meijer G- 기능을 정의하는 등고선 적분은 윤곽의 세그먼트에 Gaussian 또는 double-exponential 직교를 적용하여 수치로 평가할 수 있습니다. 이것은 대단히 효율적이지는 않지만 작동해야하며 상대적으로 높은 정밀도로 확장되어야합니다.